Vunesp 2023 · Matemática

Question

Julia é motorista de um ônibus que faz transporte executivo, e Carlos auxilia Julia durante as viagens. Hoje, ao iniciar o transporte de 12 passageiros do trabalho para suas casas, a média das idades das 14 pessoas no veículo era igual a 28 anos, sendo essas idades, em anos, não necessariamente inteiras. Na primeira parada, desceu um passageiro, e a média das idades das pessoas que ainda ficaram no ônibus aumentou em 0,75 ano. Nas 11 paradas seguintes, a cada parada, descia um passageiro, e a média das idades das pessoas que ainda ficavam no ônibus aumentava em 0,75 ano. Hoje é o aniversário de Carlos e Julia. Carlos está fazendo 25 anos e Julia

A) 31 anos.
B) 27 anos.
C) 49 anos.
D) 35 anos.
E) 43 anos.

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário - Questão de Média Aritmética (Vunesp 2023)

Essa questão explora um conceito fundamental: **quando removemos um elemento de um conjunto, a média aumenta se e somente se esse elemento é menor que a média anterior**. É exatamente o oposto do que muita gente pensa intuitivamente.

**O raciocínio correto:**

Inicialmente há 14 pessoas (Julia + Carlos + 12 passageiros) com média 28 anos, totalizando 14 × 28 = **392 anos**. Após a 1ª parada, restam 13 pessoas com média 28 + 0,75 = 28,75 anos, totalizando 13 × 28,75 = **374,75 anos**. Isso significa que o passageiro que desceu tinha 392 − 374,75 = **17,25 anos** (menor que a média anterior, por isso ela subiu).

Aplicando o mesmo raciocínio para as 11 paradas seguintes: a cada descida, a média sobe 0,75 ano. Na 2ª parada (12 pessoas): média = 29,5 anos, total = 354 anos; passageiro com 20,75 anos desceu. Na 3ª parada: 21,5 anos. E assim sucessivamente, até a 12ª parada (2 pessoas): média = 28 + (12 × 0,75) = 37 anos, total = 74 anos.

**Identificando Julia e Carlos:**

Essas 2 pessoas restantes são Julia e Carlos. Seus 12 passageiros desceram sucessivamente com idades: 17,25 | 20,75 | 24,25 | 27,75 | 31,25 | 34,75 | 38,25 | 41,75 | 45,25 | 48,75 | 52,25 | 55,75 anos (uma progressão aritmética de razão 3,5).

Carlos está fazendo 25 anos hoje. Note que nenhuma idade na sequência de descidas é exatamente 25. Portanto, **Carlos não desceu** — ele é uma das 2 pessoas que permaneceram. Logo, Julia desceu em algum momento, ou Julia também permaneceu.

Se Carlos permaneceu e as 2 pessoas restantes têm média 37 anos, então Julia + Carlos = 74 anos. Com Carlos = 25 anos, Julia = **49 anos** (alternativa C).

**Por que as outras erram:** Se Julia tivesse 31, 27, 35 ou 43 anos, ela teria descido em algum ponto da sequência (as idades dos passageiros seguem padrão bem definido), contradizendo o fato de ela permanecer até o final junto com Carlos.

Matemática — Vunesp 2023

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