Cebraspe 2022 · Matemática

Question

Com relação a equações lineares e quadráticas, sistemas lineares e funções, julgue os itens a seguir.
103 Para que o sistema linear a seguir tenha única solução, é necessário que a ≠ 2/3.

{ ax − y + z = 1
{   x − z = 2
{ 2y + az = 3

C) Certo
E) Errado

Accepted Answer

Gabarito oficial: Errado. A afirmação está **errada** porque a condição para um sistema linear quadrado ter **solução única** é que o determinante da matriz dos coeficientes seja **diferente de zero**. Aqui, a matriz dos coeficientes é  
$$
\begin{pmatrix}
a & -1 & 1\
1 & 0 & -1\
0 & 2 & a
\end{pmatrix}
$$
e seu determinante é $\det = 3a + 2$.

Portanto, o sistema terá solução única quando:
$$
3a + 2 \neq 0
$$
$$
a \neq -\frac{2}{3}
$$
Essa é a condição correta. O item, porém, afirma que seria necessário $a \neq \frac{2}{3}$, trocando o sinal do valor crítico.

Perceba o detalhe importante: se $a = \frac{2}{3}$, o determinante vale:
$$
3\cdot \frac{2}{3} + 2 = 4
$$
ou seja, é diferente de zero. Logo, **mesmo com $a = \frac{2}{3}$, o sistema tem solução única**. Por isso, não é necessário que $a$ seja diferente de $\frac{2}{3}$.

Esse é um padrão clássico da Cebraspe: a banca coloca uma condição parecida com a verdadeira, mas com pequeno erro algébrico. O candidato deve lembrar que, em sistemas lineares $3 \times 3$, a existência de **única solução** está ligada ao determinante da matriz dos coeficientes: se $\det(A) \neq 0$, há solução única; se $\det(A)=0$, o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções.

Matemática — Cebraspe 2022

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