Cebraspe 2022 · Matemática

Question

Julgue os itens que se seguem, relacionados a geometria plana e espacial.
106 Seja ABC um triângulo com A B̂ C = 90° e A Ĉ B = 30°. Se BC = √3 cm e se a altura com relação ao vértice B encontra o segmento AC no ponto D, então o comprimento do segmento AD é 1 cm.

C) Certo
E) Errado

Accepted Answer

Gabarito oficial: Errado. O item está **errado** porque, nesse triângulo retângulo, o segmento $AD$ não mede $1$ cm, mas sim $0{,}5$ cm.

Como $\angle B = 90^\circ$ e $\angle C = 30^\circ$, temos um triângulo retângulo do tipo **30°-60°-90°**. Nesse tipo de triângulo, o lado oposto a $30^\circ$ mede metade da hipotenusa, e o lado oposto a $60^\circ$ mede $\frac{\sqrt{3}}{2}$ da hipotenusa. Como $BC = \sqrt{3}$ está oposto ao ângulo de $60^\circ$, a hipotenusa $AC$ mede $2$ cm, e o cateto $AB$, oposto a $30^\circ$, mede $1$ cm.

A altura traçada do vértice $B$ até a hipotenusa $AC$ encontra-a em $D$. Em triângulo retângulo, vale a relação métrica:

$$
AB^2 = AD \cdot AC
$$

Substituindo os valores:

$$
1^2 = AD \cdot 2
$$

Logo,

$$
AD = \frac{1}{2}
$$

Portanto, a banca afirmou que $AD = 1$ cm, mas o valor correto é $AD = 0{,}5$ cm. O erro está em confundir o cateto $AB$, que realmente mede $1$ cm, com a projeção desse cateto sobre a hipotenusa, que é o segmento $AD$.

Matemática — Cebraspe 2022

Mais questões de Matemática

Fonte