Vunesp 2015 · Matemática

Question

A secretária de um consultório médico precisa arquivar vários prontuários antigos, e para isso pretende separá-los em grupos, todos com o mesmo número de prontuários. Porém, ao começar a realizar a tarefa, percebeu que colocando 6 prontuários em cada grupo, ou 8 prontuários em cada grupo, ou 9 prontuários em cada grupo sempre sobraria um prontuário. O número de prontuários que precisam ser arquivados, sabendo que eles não chegam a 100, é

A) 68.
B) 73.
C) 82.
D) 90.
E) 95.

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Análise da Questão

O problema apresenta uma situação clássica de **congruência modular** ou **resto de divisão**. A chave está na frase "sempre sobraria um prontuário": isso significa que o número total deixa resto 1 quando dividido por 6, por 8 e por 9 simultaneamente. Matematicamente: N ≡ 1 (mod 6), N ≡ 1 (mod 8) e N ≡ 1 (mod 9).

Quando um número deixa o mesmo resto em várias divisões, ele pode ser expresso como N = MMC(6, 8, 9) × k + 1. Calculando o MMC: 6 = 2×3, 8 = 2³, 9 = 3². Portanto MMC = 2³×3² = 72. Logo N = 72k + 1.

Para k = 1, temos N = 73, que está menor que 100. Testando: 73÷6 = 12 resto 1 ✓; 73÷8 = 9 resto 1 ✓; 73÷9 = 8 resto 1 ✓. Para k = 0 teríamos N = 1 (absurdo); para k = 2 teríamos N = 145 (ultrapassa 100).

As demais alternativas falham porque não deixam resto 1 em todas as divisões: 68÷9 deixa resto 5; 82÷6 deixa resto 4; 90 é divisível por 6, 8 e 9; 95÷6 deixa resto 5. Apenas **73** atende simultaneamente a todas as condições do problema.

Matemática — Vunesp 2015

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