IBADE 2020 · Matemática

Question

A quantidade de maneiras diferentes que se pode trocar uma moeda de 50 centavos em moedas de 5, 10 e 25 centavos é de:

A) 10.
B) 9.
C) 11.
D) 5.
E) 15.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. # Comentário Detalhado — Questão de Combinatória

Este é um problema clássico de **contagem com restrições**, onde precisamos encontrar todas as combinações não-negativas de moedas que somam exatamente 50 centavos. Seja `a` a quantidade de moedas de 5¢, `b` a quantidade de moedas de 10¢ e `c` a quantidade de moedas de 25¢. A equação é: **5a + 10b + 25c = 50**, ou simplificando por 5: **a + 2b + 5c = 10**.

Resolvemos testando valores de `c` (moedas de 25¢) de 0 a 2, já que 3 × 25 = 75 > 50. Para cada valor de `c`, encontramos quantos pares (a, b) satisfazem a equação:

- **c = 0**: a + 2b = 10 → b pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 (6 soluções)
- **c = 1**: a + 2b = 5 → b pode ser 0, 1, 2 (3 soluções: pares 5+0, 3+1, 1+2)
- **c = 2**: a + 2b = 0 → b = 0, a = 0 (1 solução)

Total: 6 + 3 + 1 = **10 maneiras**. A alternativa **A está correta**.

As demais alternativas (9, 11, 5, 15) resultam de erros comuns: contagem incompleta, soma errada das possibilidades, ou não consideração adequada da restrição de não-negatividade dos valores. O método sistemático por análise de casos é a ferramenta mais segura para evitar essas armadilhas em questões de combinatória linear com coeficientes.

Matemática — IBADE 2020

Mais questões de Matemática

Fonte