FGV 2025 · Matemática

Question

Um número natural N deixa resto 1 na divisão por 2 se, e somente se, deixa resto

A) 0 ou 2, na divisão por 4.
B) 1 ou 3, na divisão por 4.
C) 2 ou 5, na divisão por 6.
D) 1 ou 3 na divisão por 6.
E) 2 ou 5, na divisão por 7.

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário — Divisibilidade e Restos

A chave aqui é entender a **relação entre congruências**: se N deixa resto 1 na divisão por 2, então N é ímpar, ou seja, N = 2k + 1 para algum natural k. A questão pergunta qual resto N deixa obrigatoriamente ao dividir por 4.

Substituindo N = 2k + 1 na divisão por 4, temos dois casos. Se k é par (k = 2m), então N = 2(2m) + 1 = 4m + 1, resto **1**. Se k é ímpar (k = 2m + 1), então N = 2(2m + 1) + 1 = 4m + 3, resto **3**. Logo, todo número ímpar deixa resto 1 **ou** 3 na divisão por 4. Isso confirma a **alternativa B**.

As demais erram porque não capturam essa bipartição dos ímpares. Na alternativa A, nenhum ímpar deixa resto par (0 ou 2) na divisão por 4. As opções C, D e E misturam divisibilidade por 6 ou 7 sem lógica: um ímpar pode deixar resto 1 ou 5 na divisão por 6 (não 2 ou 5), e na divisão por 7 os restos são aleatórios. A alternativa B é a única que reflete a estrutura aritmética correta: os ímpares formam exatamente duas classes residuais módulo 4.

Matemática — FGV 2025

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