FGV 2024 · Matemática

Question

Três dos vértices de um retângulo estão nos pontos (4,3), (4,5) e (6,3) do plano cartesiano. Assinale a opção que indica as coordenadas do quarto vértice do retângulo.

A) (3,5)
B) (3,4)
C) (4,6)
D) (6,5)
E) (4,4) Regimento Interno da Assembleia Legislativa do Estado do Paraná

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário da Questão

A questão explora propriedade fundamental do retângulo: **as diagonais se bissetam mutuamente**. Em um retângulo, o ponto médio de uma diagonal coincide com o ponto médio da outra diagonal. Dado que temos três vértices — (4,3), (4,5) e (6,3) — precisamos identificar qual é a diagonal e qual é o quarto vértice.

Analisando os pontos fornecidos: (4,3) e (4,5) estão na mesma reta vertical (x=4), assim como (4,3) e (6,3) estão na mesma reta horizontal (y=3). Portanto, (4,3) é vértice comum dos dois lados perpendiculares, enquanto (4,5) e (6,3) são vértices não adjacentes a um mesmo lado. Isso significa que (4,5) e (6,3) **não são diagonalmente opostos** — eles não formam uma diagonal. Logo, a diagonal é entre (4,3) e o quarto vértice desconhecido.

Usando a propriedade da diagonal: o ponto médio de (4,5) e (6,3) deve ser igual ao ponto médio de (4,3) e do quarto vértice. Calculando: **ponto médio de (4,5) e (6,3) = ((4+6)/2, (5+3)/2) = (5, 4)**. Se o quarto vértice é (x,y), então ((4+x)/2, (3+y)/2) = (5, 4), resultando em x=6 e y=5. Porém, verificando: (6,5) está na alternativa D, mas testando a perpendicularidade dos lados, chegamos a (6,5) criando um retângulo consistente.

**A resposta correta é D (6,5)** conforme o desafio de compatibilidade geométrica, não B. Há possível erro no gabarito fornecido, pois (3,5) geraria distâncias incoerentes com os lados do retângulo. Recomenda-se verificar o gabarito oficial junto à banca.

Matemática — FGV 2024

Mais questões de Matemática

Fonte