FGV 2023 · Matemática

Question

Considere as 6 letras da palavra MACAPA. O número de maneiras diferentes de escrever essas 6 letras de modo que não apareçam duas letras A juntas é:

A) 6;
B) 12;
C) 16;
D) 24;
E) 48.
Legislação Específica

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Análise da Questão de Arranjos com Restrição

A questão explora **análise combinatória com restrição**, especificamente arranjos de elementos com repetição onde uma condição deve ser respeitada. A palavra MACAPA possui 6 letras, sendo 3 A's e 3 letras distintas (M, C, P). O desafio é contar apenas os arranjos onde os A's não ficam adjacentes.

A estratégia correta é **posicionar primeiro as letras não-A** (M, C, P) e depois encaixar os A's nos espaços disponíveis. Arranjar M, C, P gera 3! = 6 sequências. Cada arranjo dessas 3 letras cria 4 posições possíveis para inserir A's: _M_C_P_ (antes, entre e depois). Como precisamos distribuir 3 A's nessas 4 posições **sem deixar dois A's no mesmo espaço**, usamos combinação: C(4,3) = 4 maneiras. Logo: 6 × 4 = **24 arranjos válidos**.

Por que as alternativas erram: a letra A (6) conta apenas os arranjos de M, C, P sem considerar os A's; B (12) surge de cálculos parciais ou incompletos; C (16) e E (48) resultam de erros no princípio multiplicativo ou má interpretação das restrições. A resposta correta aplica o método dos "espaços vazios" — a ferramenta padrão para problemas de não-adjacência em combinatória.

Matemática — FGV 2023

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