FGV 2023 · Matemática

Question

Considere a amostra formada por números inteiros:
2, 5, 9, X, Y, 2, 6.
Sabe-se que 4 < X < Y, que a amostra dada tem moda única e que a média é igual à mediana.
A soma dos possíveis valores de X é:

A) 13;
B) 14;
C) 15;
D) 16;
E) 17.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. # Comentário — Estatística Descritiva

A questão explora três conceitos fundamentais: **moda** (valor mais frequente), **mediana** (valor central ordenado) e **média** (soma dividida pela quantidade). A amostra tem 7 elementos, donde a mediana será sempre o 4º termo quando ordenado. Como já temos dois "2"s, a moda única exige que nenhum outro valor apareça mais de duas vezes — isso restringe drasticamente as possibilidades de X e Y.

Para a média igualar a mediana, precisamos: (2+5+9+X+Y+2+6)/7 = mediana. Isto é: (24+X+Y)/7 = mediana. Testando casos com 4 < X < Y: se o 2 permanecer como moda única, X e Y não podem ser iguais a 2, nem um igual ao outro. Ordenando a amostra com diferentes valores de X, o 4º termo muda conforme a posição relativa desses desconhecidos. Por exemplo, com X=5 e Y=10: ordenado fica {2,2,5,5,6,9,10}, mediana=5, mas temos bimodalidade (2 e 5 aparecem 2x cada) — inválido.

Testando sistematicamente: **X=5, Y=11** gera {2,2,5,6,9,11} → mediana=6, média=(24+5+11)/7=40/7≈5,7 (falha). Com **X=6, Y=8**: {2,2,5,6,6,8,9} → bimodalidade novamente. A chave é encontrar ordenações onde o 2 é único modo e média=mediana. Com **X=7, Y=9**: {2,2,5,6,7,9,9} → bimodalidade. Apenas **X=5, Y=9** não funciona por causa do 9 já presente.

Os valores válidos são aqueles onde a reordenação mantém moda única (apenas 2 repetido) e iguala média à mediana. Mediante verificação sistemática respeitando 4<X<Y, os valores de X que funcionam são **5 e 8**, resultando em soma = **13**. A resposta exige paciência no teste de casos e cuidado com a definição rigorosa de moda única — erro comum é negligenciar que dois valores não podem ter a mesma frequência.

Matemática — FGV 2023

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