FGV 2023 · Matemática

Question

Ana fez um empréstimo com uma taxa de juros efetiva de
50% ao ano.  O sistema de amortização é a tabela PRICE,
com 24 parcelas mensais iguais a P.
Se em vez de 24 parcelas, o prazo fosse de 48 parcelas iguais,
pela tabela PRICE e com a mesma taxa de juros, o valor de
cada parcela seria de:

A) 1
2 𝑃 ;
B) 3
5 𝑃 ;
C) 2
3 𝑃 ;
D) 3
4 𝑃 ;
E) 4
5 𝑃 .

Accepted Answer

Gabarito oficial: *. Na tabela PRICE, a prestação é calculada por  
`PMT = PV · i / [1 − (1+i)^(-n)]`, em que `i` é a taxa do período e `n` é o número de parcelas. Como a taxa informada é **efetiva de 50% ao ano** e as parcelas são mensais, a taxa mensal equivalente satisfaz `(1+i)^12 = 1,5`.

Comparando apenas as prestações, o valor financiado `PV` e a taxa mensal `i` se cancelam. Para 24 parcelas, a prestação é `P`; para 48 parcelas, seja a nova prestação `Q`. Assim:

`Q/P = [1 − (1+i)^(-24)] / [1 − (1+i)^(-48)]`.

Como `(1+i)^12 = 1,5`, então `(1+i)^24 = 1,5² = 2,25 = 9/4`. Logo, `(1+i)^(-24) = 4/9`. Além disso, `(1+i)^(-48) = (4/9)² = 16/81`. Portanto:

`Q/P = (1 − 4/9) / (1 − 16/81) = (5/9) / (65/81) = 9/13`.

Assim, a nova parcela seria **`9/13 P`**, aproximadamente `0,6923P`. O problema é que **essa fração não aparece nas alternativas**. A alternativa mais próxima seria **C) `2/3 P`**, mas ela não é matematicamente exata. Portanto, considerando a taxa efetiva anual e a equivalência mensal correta, a questão apresenta inconsistência e seria passível de anulação.

Matemática — FGV 2023

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