FGV 2023 · Matemática

Question

Juliana aplicou um valor 𝑥 em um investimento que rende
mensalmente, com taxa de juros equivalente a 300% em 10
anos.  Após 5 anos, o valor que Juliana tem neste investimento
é de R$ 36.000,00.
O valor 𝑥 aplicado é de:

A) R$ 12.000,00;
B) R$ 16.000,00;
C) R$ 18.000,00;
D) R$ 20.000,00;
E) R$ 24.000,00.

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. Em juros compostos, taxas equivalentes preservam o mesmo fator de capitalização em períodos diferentes. Dizer que a taxa é equivalente a **300% em 10 anos** significa que, ao final de 10 anos, o capital sofre acréscimo de 300%, isto é, o montante fica igual a **4 vezes** o capital inicial: $1 + 300\% = 4$.

Como a questão pergunta a situação após **5 anos**, que é exatamente metade de 10 anos, não se pode simplesmente usar metade de 300%. Em juros compostos, a relação é exponencial. Se em 10 anos o fator acumulado é 4, então em 5 anos o fator equivalente é a raiz quadrada de 4:

$$
(1+i_{5 anos})^2 = 4
$$

Logo:

$$
1+i_{5 anos} = 2
$$

Portanto, em 5 anos, o valor aplicado dobra. Como Juliana tem R$ 36.000,00 após esse período, o capital inicial era:

$$
x \cdot 2 = 36.000
$$

$$
x = 18.000
$$

Assim, a alternativa correta é a **C) R$ 18.000,00**. As demais alternativas partem, em geral, de raciocínios típicos de juros simples ou de divisão linear da taxa, o que não se aplica aqui. Em juros compostos, o essencial é trabalhar com o **fator de acumulação**, não com a taxa dividida aritmeticamente.

Matemática — FGV 2023

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