FGV 2023 · Matemática

Question

Seja 𝐶 o conjunto dos números inteiros positivos tais que o quadrado de cada um deles está compreendido entre 1000 e 5000. O número de elementos de 𝐶 é

A) 37.
B) 38.
C) 39.
D) 40.
E) 41.

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário: Encontrando números cujo quadrado cai em intervalo dado A questão pede números inteiros positivos cujo quadrado fica entre 1000 e 5000. Precisamos resolver a inequação: 1000 < n² < 5000. Extraindo raiz quadrada nos três termos (operação válida com números positivos), obtemos √1000 < n < √5000. Calculando: √1000 ≈ 31,62 e √5000 ≈ 70,71. Como n deve ser inteiro positivo, o menor valor é 32 (pois 31² = 961 < 1000) e o maior é 70 (pois 71² = 5041 > 5000). Verificação rápida: 32² = 1024 ✓ e 70² = 4900 ✓. O intervalo é fechado em ambas as extremidades. Contando os inteiros de 32 a 70 inclusive: 70 - 32 + 1 = **39 elementos**. A alternativa **C está correta** porque usa corretamente a técnica de "desigualdade com raiz quadrada" — quando temos 1000 < n² < 5000 com n > 0, podemos extrair raiz nos três termos mantendo as desigualdades. As demais alternativas erram por erros comuns: contar apenas até 69, ou começar de 31, ou simplesmente somar incorretamente os extremos.

Matemática — FGV 2023

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