FGV 2022 · Matemática

Question

As notas das provas de um curso são números inteiros de 0 a 10. Vicente fez as três provas desse curso, não tirou nenhuma nota inferior a 5 e a soma das notas dessas provas foi 23. Colocando as notas em ordem decrescente, o número de maneiras que a sequência das notas pode ter ocorrido é

A) 4.
B) 5.
C) 6.
D) 7.
E) 8.

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão

O problema exige encontrar todas as sequências de três notas inteiras (a, b, c) onde: cada nota está entre 5 e 10, a soma é 23, e as notas estão em **ordem decrescente** (a ≥ b ≥ c).

**Estabelecendo as soluções válidas:** Partindo de a + b + c = 23 com a ≥ b ≥ c ≥ 5 e a ≤ 10, podemos listar sistematicamente. Como a ≥ b ≥ c e todos são ≥ 5, temos 5 ≤ c ≤ b ≤ a ≤ 10. O valor mínimo seria 5 + 5 + 5 = 15 e máximo 10 + 10 + 10 = 30, então 23 é viável. Testando: (10, 10, 3) não vale pois 3 < 5; (10, 9, 4) não vale; (10, 8, 5) = 23 ✓; (9, 9, 5) = 23 ✓; (9, 8, 6) = 23 ✓; (8, 8, 7) = 23 ✓. Continuando: (10, 7, 6) = 23 ✓; (9, 7, 7) = 23 ✓.

**Contando as possibilidades:** As seis sequências em ordem decrescente são: (10, 8, 5), (10, 7, 6), (9, 9, 5), (9, 8, 6), (9, 7, 7), (8, 8, 7). Cada uma representa uma maneira diferente de as notas terem ocorrido quando ordenadas. A restrição "em ordem decrescente" significa que não contamos permutações — apenas a sequência ordenada importa, pois o enunciado já estabelece essa ordem como dado.

**Por que é 6 e não outro valor:** Alternativas como 4, 5, 7 ou 8 representariam contagens incorretas de ternas válidas. Muitos candidatos erram ao: (1) esquecer a restrição mínima de 5; (2) incluir soluções inválidas; (3) contar permutações desnecessariamente. A resposta **C (6)** corresponde exatamente às seis combinações de notas que satisfazem simultaneamente todas as restrições: soma 23, cada nota entre 5 e 10, e ordenadas decrescentemente.

Matemática — FGV 2022

Mais questões de Matemática

Fonte