FGV 2022 · Matemática

Question

Sabendo-se que cos𝑥 = 1 2 , então cos20𝑥 é igual a:

A) 1
B) − 1 2
C) 0
D) −1
E) 10.

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário da Questão

A questão explora a **periodicidade das funções trigonométricas** e operações com ângulos. Se cos(x) = 1/2, temos x = 60° (ou π/3 radianos) como referência principal. O ponto-chave é calcular cos(20x), o que significa cos(20 · 60°) = cos(1200°).

Para resolver, **reduzimos o ângulo ao intervalo [0°, 360°)** usando a periodicidade do cosseno: 1200° ÷ 360° = 3 voltas completas com resto de 120°. Portanto, cos(1200°) = cos(120°). Como 120° = 180° − 60°, aplicamos a identidade cos(180° − θ) = −cos(θ), obtendo cos(120°) = −cos(60°) = −1/2.

**Por que as alternativas erram:** (A) só ocorreria se chegássemos a 0° ou 360°; (C) corresponderia a 90° ou 270°; (D) seria 180°; (E) não tem significado trigonométrico. Essas respostas desconsideram a redução angular ou o cálculo correto da identidade do cosseno do ângulo obtido.

Matemática — FGV 2022

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