FGV 2022 · Matemática

Question

Três circunferências de centros A, B e C são tangentes externas entre si, duas a duas. Os lados do triângulo ABC medem 18 cm, 21 cm e 23 cm, respectivamente. O raio da maior circunferência mede:

A) 10 cm
B) 11 cm
C) 12 cm
D) 13 cm
E) 14 cm.

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário — Circunferências Tangentes Externas

Quando duas circunferências são tangentes externas, a distância entre seus centros é igual à soma de seus raios. Portanto, se os raios são r_A, r_B e r_C, então AB = r_A + r_B, BC = r_B + r_C e AC = r_A + r_C. Isso transforma o problema em um sistema linear simples: temos três equações e três incógnitas.

**Montando o sistema:**
Considere AB = 18, BC = 21 e AC = 23 (podemos atribuir assim). Então: r_A + r_B = 18; r_B + r_C = 21; r_A + r_C = 23.

Somando as três equações: 2(r_A + r_B + r_C) = 62, logo r_A + r_B + r_C = 31. Agora subtraindo sucessivamente: (31) − 18 = r_C = 13; (31) − 21 = r_A = 10; (31) − 23 = r_B = 8. Verificação: 10 + 8 = 18 ✓; 8 + 13 = 21 ✓; 10 + 13 = 23 ✓.

**Por que a resposta é D:**
O raio da maior circunferência é 13 cm (correspondente ao centro C). A solução decorre diretamente da propriedade de tangência externa: não há cálculos trigonométricos ou fórmulas complexas envolvidas.

Matemática — FGV 2022

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