FGV 2022 · Matemática

Question

Considere um financiamento realizado pelo sistema Price, com uma taxa efetiva de 50% ao ano, no regime de juros compostos, e o valor do principal é de R$ 100,00. Considere três situações: M: prazo de financiamento de 1 ano; N: prazo de financiamento de 2 anos; O: prazo de financiamento que tende para infinito. O valor das prestações anuais nas situações M, N e O são, respectivamente,

A) 100, 90 e 0.
B) 100, 50 e 40.
C) 100, 50 e 10.
D) 150, 90 e 0.
E) 150, 90 e 50.

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário — Sistema Price com taxa de 50% a.a.

A questão cobra a fórmula da prestação no sistema Price (ou SAF): **P = PV × [i(1+i)^n] / [(1+i)^n - 1]**, onde PV = principal, i = taxa e n = períodos. Com PV = 100 e i = 0,50, vamos aos três casos.

**Situação M (1 ano):** P = 100 × [0,50(1,50)¹] / [(1,50)¹ - 1] = 100 × (0,75 / 0,50) = 100 × 1,5 = **150**. É uma única prestação que deve amortizar o principal e seus juros, resultando em 150. A alternativa A erra aqui ao marcar 100 (ignoraria os juros); a C também marca 100.

**Situação N (2 anos):** P = 100 × [0,50(1,50)²] / [(1,50)² - 1] = 100 × [0,50 × 2,25] / [2,25 - 1] = 100 × (1,125 / 1,25) = 100 × 0,90 = **90**. Duas prestações de 90 distribuem melhor o custo ao longo do tempo, reduzindo cada parcela. As alternativas B e C erram ao marcar 50, que é metade do principal e ignora a capitalização.

**Situação O (n → ∞):** quando o prazo tende ao infinito, a prestação aproxima-se de **P = PV × i = 100 × 0,50 = 50**. Isso ocorre porque, matematicamente, lim[n→∞] [i(1+i)^n] / [(1+i)^n - 1] = i. Apenas a alternativa **E** marca 50 no terceiro valor, mas erra nos anteriores (marca 150 e 90 em vez de 150 e 90... na verdade marca certo). Aguarde: a E diz "150, 90 e 50" — está correta! Há inconsistência no gabarito oficial fornecido.

Matemática — FGV 2022

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