FGV 2022 · Matemática

Question

Considere duas aplicações financeiras X e Z, cujo investimento inicial é de R$ 1.000,00 em cada. Na aplicação X, a taxa de rentabilidade é de 10% a.a. e é capitalizada por juros simples e na aplicação Z vale a mesma rentabilidade de 10% a.a., mas a capitalização é por juros compostos. Ao se comparar a evolução dessas duas aplicações, é correto concluir que

A) com exceção do ano 0, o montante na aplicação Z sempre supera o da aplicação X, devido ao seu crescimento exponencial.
B) se houver resgate após um ano, os valores resgatados nas duas aplicações serão necessariamente iguais.
C) o montante da aplicação X deduzido do montante da aplicação Z, cresce a taxas exponenciais.
D) a taxa de inclinação da linha de evolução do montante na aplicação X é constante e, na aplicação Z, é crescente.
E) a divisão do montante da aplicação Z em relação ao montante X será sempre maior do que a unidade a partir do primeiro ano.

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário da Questão

A questão trabalha as diferenças fundamentais entre **juros simples** e **juros compostos**. Na aplicação X (simples), o montante cresce segundo a fórmula M = C(1 + it), gerando uma reta quando plotada em gráfico — logo, a taxa de variação é **constante**. Na aplicação Z (composta), M = C(1 + i)^t segue uma curva exponencial, cuja **inclinação aumenta continuamente** conforme o tempo avança.

A alternativa **D é correta** porque captura essa característica geométrica das duas curvas. A "taxa de inclinação" (derivada) de uma reta é, por definição, um valor fixo. Já a derivada da função exponencial é ela mesma, multiplicada por uma constante, resultando numa inclinação que cresce exponencialmente. Essa é a essência da diferença visual entre os dois regimes de capitalização.

As demais alternativas erram por imprecisão ou falsidade: **(A)** erra ao incluir "com exceção do ano 0" — ambas iniciam em R$ 1.000 no ano zero, sendo iguais; **(B)** está correta apenas para um ano (1.100 em ambas), mas a questão pede generalização para qualquer resgate; **(C)** se compara X - Z, que é negativo e cresce em módulo, não em taxas exponenciais "positivas" no sentido usual; **(E)** a razão Z/X no primeiro ano é exatamente 1 (1.100/1.100), não maior que a unidade.

Matemática — FGV 2022

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