FGV 2022 · Matemática

Question

Suponha que uma variável aleatória populacional X pode ser suposta normalmente distribuída com média  desconhecida e variância 2 conhecida. Se uma amostra aleatória de tamanho n for obtida, e se 𝑥̅ é o valor observado da média amostral, então um intervalo de 95% de confiança para  será dado por

A) (𝑥̅ − 1,96/𝑛 ; 𝑥̅ + 1,96/𝑛)
B) (𝑥̅ − 1,96/√𝑛 ; 𝑥̅ + 1,96/√𝑛)
C) (𝑥̅ − 1,96√𝑛 ; 𝑥̅ + 1,96√𝑛)
D) (𝑥̅ − 1,96 /√𝑛 ; 𝑥̅ + 1,96 /√𝑛)
E) (𝑥̅ − 1,96/√𝑛 ; 𝑥̅ + 1,96/√𝑛)

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. ## Comentário da Questão

A questão cobra a **fórmula clássica do intervalo de confiança para a média de uma população normal com variância conhecida**. Esse é o modelo fundamental em inferência estatística, baseado na distribuição normal padrão Z.

**Por que a alternativa D está correta:** O intervalo de confiança segue a estrutura IC = x̅ ± z_{α/2} · (σ/√n). Para 95% de confiança, o valor crítico da tabela Z é 1,96. O termo decisivo é σ/√n — o **erro padrão da média amostral**. Quando aumentamos o tamanho amostral n, o denominador cresce, reduzindo a margem de erro, o que faz sentido prático: mais observações geram estimativas mais precisas. A raiz quadrada em √n (e não n) é fundamental: está implícita na teoria do Teorema Central do Limite.

**Erros comuns nas demais alternativas:** A alternativa A divide por n sem raiz — comete erro duplo de não penalizar adequadamente o tamanho amostral e não aplicar a correta redução de variância. A alternativa C multiplica por √n, invertendo a lógica: aumentar n aumentaria a margem de erro, absurdo estatístico. As alternativas B e E repetem D (há aparente redundância na digitação), mas B está escrita sem espaço claro, causando possível confusão de leitura — a FGV provavelmente a colocou como distrator por imprecisão formal.

**Conceito-chave:** σ/√n é o **desvio-padrão da distribuição amostral de x̅**, derivado diretamente das propriedades de variância de somas independentes. Memorize: sempre √n no denominador quando se trabalha com médias amostrais.

Matemática — FGV 2022

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