FGV 2022 · Matemática

Question

As medidas, em graus, dos ângulos internos de um quadrilátero convexo são tais que, colocadas em ordem crescente, a diferença entre duas medidas consecutivas quaisquer é sempre igual a 20. Assinale a opção que indica o valor do maior ângulo desse quadrilátero.

A) 120.
B) 110.
C) 100.
D) 90.
E) 80.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. # Comentário da Questão — Ângulos de Quadrilátero com Progressão Aritmética

A questão explora dois conceitos fundamentais de geometria plana: a **soma dos ângulos internos de um quadrilátero** e **progressão aritmética**. Como os ângulos em ordem crescente têm diferença constante de 20° entre consecutivos, formam uma PA com razão r = 20. Denotando o menor ângulo como *a*, os quatro ângulos são: *a*, *a* + 20, *a* + 40, *a* + 60.

A propriedade essencial é que **a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero convexo é sempre 360°** (fórmula geral: (n−2)·180°, com n = 4). Portanto: *a* + (*a* + 20) + (*a* + 40) + (*a* + 60) = 360. Simplificando: 4*a* + 120 = 360 → 4*a* = 240 → *a* = 60°.

Os quatro ângulos são, portanto: 60°, 80°, 100° e 120°. O **maior ângulo mede 120°**, confirmando a alternativa **A**.

Por que as demais estão erradas: se o maior ângulo fosse 110° (B), 100° (C), 90° (D) ou 80° (E), a sequência não respeitaria a diferença constante de 20° ou a soma não fecharia em 360°. Por exemplo, com máximo de 110°, teríamos 50°, 70°, 90°, 110°, cuja soma é 320° ≠ 360°.

Matemática — FGV 2022

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