FEPESE 2019 · Matemática

Question

Quantos números entre 10 e 88 existem tais que invertendo a ordem de seus algarismos obtemos um número maior que o número original?

A) 32
B) 34
C) 35
D) 36
E) 38

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão

A questão pede números de dois algarismos entre 10 e 88 onde a inversão dos algarismos resulta em um número maior que o original. Seja um número na forma **10a + b**, onde *a* é o algarismo das dezenas e *b* é o das unidades. Ao inverter, obtemos **10b + a**. Queremos que **10b + a > 10a + b**, o que simplifica para **9b > 9a**, ou seja, **b > a**.

Portanto, o problema se reduz a contar pares (a, b) onde: a ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (o número original está entre 10 e 88) e b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (algarismo válido), com a restrição crucial de que **b > a**.

**Contando por valor de a:**
- a = 1: b ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 8 números
- a = 2: b ∈ {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} → 7 números
- a = 3: b ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9} → 6 números
- a = 4: b ∈ {5, 6, 7, 8, 9} → 5 números
- a = 5: b ∈ {6, 7, 8, 9} → 4 números
- a = 6: b ∈ {7, 8, 9} → 3 números
- a = 7: b ∈ {8, 9} → 2 números
- a = 8: b ∈ {9} → 1 número

**Total:** 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = **35 números**

A resposta é a alternativa **C**.

Matemática — FEPESE 2019

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