Cesgranrio 2025 · Matemática

Question

O cliente de um banco fez uma série de 20 aplicações anuais de 5 mil reais, durante 20 anos, uma a cada ano, sendo a primeira aplicação em janeiro de 2001 e a última em janeiro de 2020. Sabe-se que nenhuma retirada foi realizada durante esse período de 20 anos e que a taxa de juro obtida nas aplicações foi de 10% ao ano, no regime de juros compostos. Sabe-se que o valor total, em janeiro de 2020, logo após a última aplicação, pode ser calculado pela soma dos termos de uma progressão geométrica. Considerando-se apenas essas informações, o valor total que o cliente terá com essas aplicações, em milhares de reais, em janeiro de 2020, imediatamente após realizar a aplicação de janeiro de 2020, é igual a

A) 270,8
B) 280,3
C) 285,5
D) 292,8
E) 296,5 Dado 1,120 = 6,71 CONHECIMENTOS BANCÁRIOS

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão

Esta é uma questão de **série de pagamentos (anuidade)** combinada com progressão geométrica. O cliente faz depósitos iguais de R$ 5 mil no final de cada ano durante 20 anos, a 10% a.a., e queremos o montante total após a última aplicação em janeiro de 2020.

A chave está em perceber que cada depósito renderá juros compostos por um período diferente. O depósito de 2001 (primeira aplicação) rende por 19 anos: 5.000 × 1,10^19. O de 2002 rende por 18 anos: 5.000 × 1,10^18. E assim sucessivamente, até o depósito de 2020 que não rende (tempo zero): 5.000 × 1,10^0. A soma total é: **5.000 × (1,10^0 + 1,10^1 + 1,10^2 + ... + 1,10^19)**, que é exatamente uma progressão geométrica com primeiro termo a₁ = 1, razão q = 1,10 e n = 20 termos.

A fórmula da soma de PG finita é **S = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1)**. Aqui: S = (1,10^20 - 1)/(1,10 - 1) = (6,71 - 1)/0,10 = 5,71/0,10 = 57,1. Multiplicando pelos R$ 5 mil: 5 × 57,1 = **285,5 mil reais** ✓ Alternativa **C**.

As demais alternativas resultam de erros comuns: usar a fórmula de forma invertida (soma com expoentes decrescentes em ordem errada), esquecer que 2020 não rende juros, ou aplicar taxa simples em vez de composta.

Matemática — Cesgranrio 2025

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