Cesgranrio 2025 · Matemática

Question

Um cliente avalia tomar um empréstimo levando em consideração a taxa anual de juro cobrada por dois bancos parceiros: P e Q. O Banco P cobra uma taxa de juro de 5% ao mês, no regime de juros compostos; já o Banco Q cobra uma taxa de juro de 6% ao mês, no mesmo regime. A diferença entre as taxas de juros anuais equivalentes, cobradas, respectivamente, pelos Bancos P e Q é de, aproximadamente,

A) 12%
B) 14%
C) 18%
D) 22%
E) 24% Dado 1,066 = 1,42 1,056 = 1,34

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário da Questão

A questão cobra a conversão de **taxas equivalentes em juros compostos**, conceito fundamental em matemática financeira. No regime composto, taxas em períodos diferentes NÃO se somam linearmente — é necessário usar a relação de equivalência: **(1 + i₁)ⁿ = (1 + i₂)ᵐ**, onde n e m são os períodos de capitalização. Para converter taxa mensal em anual com 12 meses, elevamos a base (1 + taxa mensal) à 12ª potência.

**Banco P:** (1,05)¹² = 1,05⁶ × 1,05⁶ = 1,34 × 1,34 ≈ 1,7956. Taxa anual ≈ **79,56%**.

**Banco Q:** (1,06)¹² = 1,06⁶ × 1,06⁶ = 1,42 × 1,42 ≈ 2,0164. Taxa anual ≈ **101,64%**.

**Diferença:** 101,64% − 79,56% ≈ **22,08%** ≈ 22%, justificando a alternativa **D**.

Armadilhas comuns: marcar 1% (diferença das taxas mensais × 12 = erro de juros simples); somar diretamente 5% + 6% = 11%; ou confundir qual é a diferença exigida. O distrator **E (24%)** resulta de erros no cálculo das potências. A questão valida que você domina o princípio da capitalização composta, frequente em avaliações de instituições financeiras.

Matemática — Cesgranrio 2025

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