Cesgranrio 2025 · Matemática

Question

Um apartamento avaliado em 1 milhão de reais foi comprado por uma pessoa a partir de uma entrada de 40% desse valor de avaliação e de um financiamento do valor restante, no sistema SAC, cujas prestações mensais são decrescentes e formam uma progressão aritmética. O financiamento foi realizado para durar exatamente 25 anos, de modo que a primeira prestação mensal do financiamento será de R$ 8.000,00 e a segunda prestação mensal será de R$ 7.980,00. Considerando-se apenas as informações apresentadas, o valor mais próximo do valor total a ser pago pelo apartamento, incluindo a entrada e o financiamento, em milhões de reais, é igual a

A) 1,50
B) 1,55
C) 1,60
D) 1,75
E) 1,90

Accepted Answer

Gabarito oficial: E. # Comentário da Questão — Sistema SAC e Progressão Aritmética

A questão explora a característica fundamental do **sistema SAC (Sistema de Amortização Constante)**: as prestações formam uma progressão aritmética decrescente. Aqui, a entrada é 40% de R$ 1.000.000 = R$ 400.000, deixando R$ 600.000 para financiar. Com 25 anos = 300 meses, a razão da PA é r = 7.980 − 8.000 = −20 reais por mês. Isso significa cada prestação diminui R$ 20 em relação à anterior — comportamento típico do SAC, onde a amortização é constante (600.000 ÷ 300 = R$ 2.000/mês) e os juros decrescem linearmente.

O total pago no financiamento é a soma de uma PA com primeiro termo a₁ = 8.000, último termo aₙ = 8.000 + (300 − 1) × (−20) = 8.000 − 5.980 = 2.020, e 300 termos. Aplicando a fórmula S = n(a₁ + aₙ)/2: **S = 300 × (8.000 + 2.020)/2 = 300 × 5.010 = R$ 1.503.000**. O valor total pago é entrada + financiamento = 400.000 + 1.503.000 = **R$ 1.903.000 ≈ 1,90 milhão**.

As alternativas menores (A, B, C, D) resultariam de erros comuns: usar apenas a primeira prestação multiplicada pelos 300 meses (R$ 2.400.000 — absurdo), esquecer a entrada, ou calcular a soma de PA de forma incorreta. A alternativa **E está correta** porque respeita simultaneamente a entrada de 40%, a progressão aritmética com razão −20, e a duração de 300 meses do SAC.

Matemática — Cesgranrio 2025

Mais questões de Matemática

Fonte