Cesgranrio 2024 · Matemática

Question

Sabe-se que uma progressão aritmética cujo termo geral

é representado por an , n=1, 2, 3 ... é tal que a sua razão

é igual ao dobro do seu termo a1 .

Em princípio, portanto, o seu termo geral an poderia ser
dado por

A) an = 4n - 2
B) an = 2 + 4n
C) an = 2n
D) an = 2 . 4n+1
E) an = 2 . 4n-1

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. # Comentário da Questão

A questão traz uma **progressão aritmética (PA) onde a razão é o dobro do primeiro termo**. Precisamos montar a fórmula geral corretamente.

Em uma PA, o termo geral é sempre **an = a₁ + (n − 1) · r**. A informação crucial é que **r = 2a₁**. Isso significa que para qualquer valor de a₁ que escolhamos, a razão será exatamente o seu dobro. A questão pede uma expressão que represente essa família de progressões.

Desenvolvendo a fórmula geral:
- an = a₁ + (n − 1) · 2a₁
- an = a₁ + 2a₁n − 2a₁
- an = a₁(1 + 2n − 2)
- an = a₁(2n − 1)

Agora, a expressão **deve funcionar para qualquer a₁ válido**. A alternativa **A: an = 4n − 2** pode ser reescrita como **an = 2(2n − 1)**, o que corresponde ao caso onde **a₁ = 2**. Verifique: se a₁ = 2, então r = 4. Veja a sequência: 2, 6, 10, 14... → a₁ = 2, a₂ = 2 + 4 = 6 ✓, a₃ = 2 + 8 = 10 ✓. A fórmula 4n − 2 também dá: n=1 → 2, n=2 → 6, n=3 → 10. **Compatível!**

As demais alternativas falham: **B e C não resgatam a relação r = 2a₁**; **D e E contêm potências de 4**, que não surgem naturalmente em uma PA (progressões aritméticas têm crescimento linear, não exponencial). A questão aceita uma PA concreta (com a₁ = 2) como representante válido da condição dada.

Matemática — Cesgranrio 2024

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