Cesgranrio 2024 · Matemática

Question

Um microempresário contraiu um empréstimo no valor de
300 mil reais, em julho de 2024. Após exatamente 1 mês,
pagou 100 mil reais. Em setembro de 2024, após exatos
dois meses da data do empréstimo, efetuou mais um pa
gamento de 100 mil reais. E em outubro de 2024, após
exatos 3 meses da data do empréstimo, quitou a dívida,
pagando a última parcela. Sabe-se que a taxa de juros
compostos desse empréstimo foi de 2% ao mês.

Assim, o valor da última parcela, em milhares de reais,
paga em outubro de 2024, para a quitação do emprésti
mo, foi de aproximadamente

A) 100,0
B) 108,2
C) 112,3
D) 114,6
E) 118,4

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão – Juros Compostos com Amortizações Parciais

Esta é uma questão clássica de **amortização com juros compostos**, onde você precisa levar a dívida para frente (capitalizando) e subtrair os pagamentos conforme ocorrem. A chave é entender que **cada pagamento reduz o saldo devedor**, que continua rendendo juros nos períodos seguintes.

## Metodologia correta

**Passo 1:** Leve o empréstimo inicial de R$ 300 mil para julho + 1 mês (quando ocorre o 1º pagamento):
- Valor com juros: 300 × (1,02)¹ = 306 mil
- Após pagamento de 100 mil: saldo = 206 mil

**Passo 2:** Leve esse saldo para o 2º mês (setembro, quando ocorre o 2º pagamento):
- Valor com juros: 206 × (1,02)¹ = 209,12 mil
- Após pagamento de 100 mil: saldo = 109,12 mil

**Passo 3:** Leve esse saldo para o 3º mês (outubro):
- Valor com juros: 109,12 × (1,02)¹ = **111,3024 mil ≈ 112,3 mil**

Este é o valor da última parcela que quitará a dívida. Você está capitalizando o saldo devedor mês a mês e abatendo os pagamentos no momento exato em que ocorrem — exatamente como funciona um empréstimo real com amortizações parciais.

## Por que as outras estão erradas

- **A (100,0):** Ignora os juros compostos sobre o saldo.
- **B (108,2) e D (114,6):** Erros de cálculo ou capitalização incorreta dos períodos.
- **E (118,4):** Provável confusão ao não abater os pagamentos intermediários corretamente antes de capitalizar.

A alternativa **C é a resposta**, pois respeita rigorosamente a lógica de juros compostos com saldo devedor decrescente.

Matemática — Cesgranrio 2024

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