Cesgranrio 2024 · Matemática

Question

Considere válidas as seguintes igualdades:

(1,21)3 = ((1,1)2)3 = (1,1)6 = 1,772

Tais igualdades justificam o fato de serem equivalentes as
taxas de juros compostos

A) 10% ao mês, 21% ao bimestre e 77,2% ao semestre
B) 10% ao mês, 21% ao trimestre e 77,2% ao semestre
C) 10% ao semestre, 21% ao trimestre e 77,2% ao ano
D) 1% ao mês, 2,1% ao bimestre e 7,72% ao semestre
E) 1% ao mês, 2,1% ao trimestre e 7,72% ao semestre

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. ## Análise da Questão – Taxas Equivalentes de Juros Compostos

A questão explora o conceito de **taxas equivalentes em regime de juros compostos**, que é fundamental em matemática financeira. Quando duas taxas referentes a períodos diferentes produzem o mesmo montante sobre um capital inicial, elas são equivalentes. A fórmula que as relaciona é: **(1 + i₁)ⁿ = (1 + i₂)**, onde n é a razão entre os períodos.

Analisando a sequência apresentada: (1,21)³ = (1,1)⁶ = 1,772. Isso significa que elevar 1,21 ao cubo é equivalente a elevar 1,1 à sexta potência. Em termos de taxas, 1,21 = (1 + 0,21) e 1,1 = (1 + 0,1). Portanto: um capital com taxa de **21% ao bimestre aplicada 3 vezes** (ou seja, em 3 bimestres = 1 semestre) gera o mesmo resultado que uma taxa de **10% ao mês aplicada 6 vezes** (6 meses = 1 semestre). Ambas resultam em um fator de 1,772, ou seja, **77,2% de rendimento no semestre**.

A **alternativa A está correta** porque: 10% ao mês (em 6 meses) ≡ 21% ao bimestre (em 3 bimestres) ≡ 77,2% ao semestre. As três taxas, quando aplicadas aos seus respectivos períodos dentro de um semestre, geram exatamente o mesmo resultado financeiro.

As demais alternativas erram nos períodos ou nas equivalências: a B coloca trimestre em lugar de bimestre (o que não corresponde à igualdade matemática); C muda para semestre/trimestre/ano sem guardar a proporção correta; D reduz as taxas para 1%, 2,1% e 7,72%, perdendo a equivalência; e E também compromete a relação entre períodos necessária para a equivalência.

Matemática — Cesgranrio 2024

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