Cesgranrio 2023 · Matemática

Question

A empresa XYZ planeja comprar um equipamento em ja
neiro de 2023, cujo preço à vista é R$ 300.000,00, pagan
do com uma entrada e mais duas parcelas. A entrada, cor
respondente à primeira parcela, será paga em janeiro de
2023 (no ato da compra); a segunda parcela, em janeiro
de 2024, no valor de R$ 150.000,00; e a terceira parcela,
em janeiro de 2025, também no valor de R$ 150.000,00.
Considerando-se a equivalência financeira a juros com
postos, se a taxa de juros cobrada pelo vendedor é de
10% ao ano, o valor da entrada (primeira parcela no ato
da compra), em R$, será, aproximadamente,

A) 20.000,00
B) 39.670,00
C) 48.750,00
D) 54.280,00
E) 63.000,00

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário da Questão

Esta é uma questão de **equivalência financeira** que cobra a igualdade entre o valor à vista e o valor presente de todos os pagamentos. O princípio fundamental é: na data focal escolhida (neste caso, janeiro de 2023), a soma dos valores presentes das parcelas deve igualar o preço à vista de R$ 300.000,00.

## Montagem da equação

A entrada (X) é paga em janeiro/2023 (data zero, sem desconto). A segunda parcela de R$ 150.000,00 vence em janeiro/2024 (1 ano depois) e deve ser trazida a valor presente dividindo por (1 + 0,10)¹. A terceira parcela de R$ 150.000,00 vence em janeiro/2025 (2 anos depois) e deve ser dividida por (1 + 0,10)².

A equação fica:
$$X + \frac{150.000}{1,10} + \frac{150.000}{1,10^2} = 300.000$$

## Resolução

Calculando os valores presentes:
- Segunda parcela: 150.000 ÷ 1,10 = 136.363,64
- Terceira parcela: 150.000 ÷ 1,21 = 123.966,94

Somando: 136.363,64 + 123.966,94 = 260.330,58

Portanto: **X = 300.000 − 260.330,58 = 39.669,42 ≈ 39.670,00**

## Por que as outras estão erradas

A alternativa **A (20.000)** subestima drasticamente o valor, como se houvesse uma taxa de desconto muito maior. **C, D e E** superestimam, indicando erros comuns: usar taxa simples em vez de composta, inverter a fórmula de desconto, ou aplicar juros em vez de desconto. A Cesgranrio sempre especifica "juros compostos" para eliminar ambiguidades — é a fórmula padrão de equivalência financeira em operações comerciais.

Matemática — Cesgranrio 2023

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