Cesgranrio 2023 · Matemática

Question

Considere a equação: 4x – 5.2x – 6 = 0 Quantas soluções reais distintas tem essa equação?

A) 0, ou seja, não existe nenhuma solução real
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário da Questão

A resolução exige reconhecer que se trata de uma **equação exponencial disfarçada de polinomial**. O truque está em perceber que 4x = (2²)x = (2x)². Fazendo a substituição y = 2x, transformamos a equação original em uma equação quadrática: y² – 5y – 6 = 0, que fatorada fica (y – 6)(y + 1) = 0, gerando y = 6 ou y = –1.

Aqui está o ponto crítico: precisamos voltar à variável original. De 2x = 6, obtemos x = log₂(6), que é perfeitamente válido como solução real. Porém, de 2x = –1, chegamos a uma contradição fundamental: **a função exponencial 2x nunca assume valores negativos**, pois sua imagem é sempre (0, +∞). Portanto, y = –1 não gera solução real, apenas uma "raiz estranha" introduzida pela substituição.

A alternativa A está incorreta porque existe sim uma solução (x = log₂(6) ≈ 2,58). As alternativas C, D e E erram por superestimar soluções — o candidato ingênuo poderia contar ambas as raízes da quadrática sem verificar a restrição da função exponencial. A resposta é **B**: exatamente **uma solução real distinta**.

Matemática — Cesgranrio 2023

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