Cesgranrio 2023 · Matemática

Question

Considere um conjunto com 100 bolinhas distintas: uma de 1 g, uma de 2 g, uma de 3 g e assim por diante, até uma última de 100 g. Deseja-se selecionar três bolinhas, obrigatoriamente distintas, de modo que a soma de suas massas seja igual a 120 g. Quantos conjuntos de três bolinhas satisfazem a condição acima?

A) 941
B) 1060
C) 1105
D) 1317
E) 2031 SEGURANÇA CORPORATIVA E PATRIMONIAL / PREVENÇÃO E COMBATE A INCÊNDIO

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário da Questão

Trata-se de um **problema de contagem com restrição**, onde precisamos encontrar todas as triplas (a, b, c) com a < b < c tal que a + b + c = 120. A estratégia é transformar isso em um problema de combinações simples.

Fixando a < b < c, podemos reescrever: se a + b + c = 120, precisamos contar as soluções inteiras respeitando 1 ≤ a < b < c ≤ 100. O método eficiente é fazer a substituição a = x, b = x + y, c = x + y + z (com x, y, z ≥ 1), o que garante automaticamente a < b < c. Substituindo: x + (x + y) + (x + y + z) = 120, logo **3x + 2y + z = 120**. Agora impõe-se a restrição c ≤ 100, ou seja, x + y + z ≤ 100.

A abordagem direta é iterar sobre os valores de a de 1 até 58 (pois se a = 59, o máximo seria 59 + 60 + 61 = 180 > 120, e o mínimo seria 59 + 60 + 61 = 180, impossível). Para cada valor de a, precisamos contar os pares (b, c) com a < b < c, b + c = 120 – a e c ≤ 100. Isso reduz-se a contar os valores de b no intervalo (a, 60 – a/2), respeitando b < c = 120 – a – b e c ≤ 100.

Procedendo sistematicamente: para cada a, o valor de b varia de (a + 1) até min(⌊(120 – a – 1)/2⌋, 119 – a). Somando para todos os valores válidos de a, chega-se a **1060** triplas. A resposta **B** é obtida por essa enumeração cuidadosa, respeitando rigorosamente as restrições de ordem (a < b < c) e limite superior (c ≤ 100).

Matemática — Cesgranrio 2023

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