Cesgranrio 2022 · Matemática

Question

Um empresário pegou um empréstimo de 500 mil reais,
a uma taxa de juro de 5% ao mês, no sistema de juros
compostos. Após 6 meses, sem pagar absolutamente
nada do empréstimo, resolveu renegociar a dívida com
o banco, que lhe concedeu um desconto de 10% so
bre o saldo devedor, financiando os 90% restantes em
24 prestações mensais e iguais, com a primeira a ser
paga um mês após a data da renegociação, a uma taxa
de juro de 3% ao mês.
O valor da prestação mensal, em milhares de reais, que o
empresário devedor vai pagar, nessa nova negociação, é
de, aproximadamente,

A) 35,6
B) 37,8
C) 39,6
D) 40,8
E) 42,8

Dado:

1,056 = 1,34;

1,0324 = 2,03

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. # Comentário — Questão de Juros Compostos e Série de Pagamentos

## Resolução passo a passo

A questão exige **duas etapas bem definidas**: primeiro calcular o saldo devedor após 6 meses de juros compostos; depois, financiar 90% desse saldo em prestações iguais (série uniforme postecipada).

**Etapa 1 — Saldo devedor após 6 meses:**
- Capital inicial: R$ 500 mil
- Taxa: 5% ao mês (juros compostos)
- Montante = C × (1,05)⁶ = 500 × 1,34 = **670 mil reais**

**Etapa 2 — Desconto e nova dívida:**
- Desconto de 10%: 670 × 0,90 = **603 mil reais** (saldo a financiar)

**Etapa 3 — Cálculo da prestação mensal:**
Aqui entra a **fórmula de amortização com série uniforme postecipada** (Tabela Price):

$$P = V 	imes \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1}$$

Onde:
- V = 603 mil (saldo devedor)
- i = 3% = 0,03
- n = 24 meses

Substituindo:
$$P = 603 	imes \frac{0,03 	imes 1,03^{24}}{1,03^{24} - 1} = 603 	imes \frac{0,03 	imes 2,03}{2,03 - 1}$$

$$P = 603 	imes \frac{0,0609}{1,03} = 603 	imes 0,0591 \approx 35,6 	ext{ mil reais}$$

## Por que a alternativa A está correta

O cálculo respeita os **dois regimes de capitalização mencionados**: juros compostos na primeira fase (com a potência fornecida: 1,05⁶ = 1,34) e, na segunda, a aplicação correta da **fórmula de valor presente de uma série uniforme postecipada**, que é o padrão em financiamentos bancários (primeira parcela vence um mês após). As demais alternativas resultam de erros como: não aplicar o desconto de 10%, confundir o regime de juros, ou errar a manipulação algébrica da fórmula de amortização.

Matemática — Cesgranrio 2022

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