Cesgranrio 2022 · Matemática

Question

Um equipamento no valor de R$ 3.680.000,00 será finan
ciado em 4 parcelas, à taxa de juro de 10% ao ano, no
regime de juros compostos. A primeira parcela, no valor
de R$ 1.000.000,00, será paga no ato da compra; as se
gunda e terceira parcelas serão iguais entre si, pagas 1 e
2 anos após a compra, respectivamente. A última parcela,
no valor de R$ 1.331.000,00, será paga 3 anos após a
compra.
Considerando-se os fluxos de pagamentos apresentados
e a equivalência financeira no regime de juros compostos,
o valor, em reais, de cada uma das parcelas intermediá
rias (2a e 3a parcelas), será de, aproximadamente,

A) 900.000,00
B) 950.000,00
C) 970.000,00
D) 980.000,00
E) 990.000,00

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. ## Comentário da Questão

Esta é uma questão de **equivalência de capitais em juros compostos**, onde você precisa trazer todos os fluxos de pagamento para uma mesma data focal usando o desconto racional composto. O ponto-chave é entender que, se há equivalência financeira, o valor presente de todas as parcelas deve igualar o valor do equipamento.

**Montando a equação de equivalência:**

Trazendo tudo para a data zero (ato da compra) e chamando as parcelas intermediárias de **P**:

$$3.680.000 = 1.000.000 + \frac{P}{(1,10)^1} + \frac{P}{(1,10)^2} + \frac{1.331.000}{(1,10)^3}$$

Resolvendo os denominadores: $(1,10)^1 = 1,10$; $(1,10)^2 = 1,21$; $(1,10)^3 = 1,331$

$$3.680.000 = 1.000.000 + \frac{P}{1,10} + \frac{P}{1,21} + \frac{1.331.000}{1,331}$$

$$3.680.000 = 1.000.000 + \frac{P}{1,10} + \frac{P}{1,21} + 1.000.000$$

$$1.680.000 = \frac{P}{1,10} + \frac{P}{1,21}$$

**Resolvendo para P:**

$$1.680.000 = P \left(\frac{1}{1,10} + \frac{1}{1,21}\right)$$

$$1.680.000 = P (0,9091 + 0,8264) = P × 1,7355$$

$$P = \frac{1.680.000}{1,7355} ≈ 968.000 ≈ 970.000$$

**Por que a alternativa C está correta:** O método de equivalência financeira é o fundamento de todas as operações de crédito e financiamento no regime composto. Você iguala o valor presente de todos os fluxos futuros ao capital financiado, aplicando a taxa de desconto contratada. As demais alternativas resultam de erros de cálculo nas operações com as potências de 1,10 ou em arredondamentos inadequados.

Matemática — Cesgranrio 2022

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