Cesgranrio 2021 · Matemática

Question

Um negociador de investimentos de uma instituição financeira pergunta ao gerente de tal instituição qual a taxa de
juros anual máxima que pode oferecer a um cliente investidor, e o gerente afirma que ficará satisfeito com uma taxa
anual máxima de 8,36%. O negociador entra em contato
com o cliente que pretende investir um capital C1 e diz
que, ao final de um ano, ele receberá C2, que corresponde
a C1 acrescido de 5,00% de juros, mas não tem sucesso nessa negociação inicial. O negociador resolve aplicar
uma nova taxa sobre C2, mas sem ultrapassar a taxa anual máxima que está autorizado a oferecer.
Qual o valor máximo da taxa a ser aplicada sobre C2?

A) 2,16%
B) 2,24%
C) 3,20%
D) 7,96%
E) 16,72%

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão

A questão trabalha com **juros compostos** e a necessidade de respeitar um limite máximo de taxa anual. O ponto-chave é entender que o negociador quer aplicar *duas taxas sucessivas* sem ultrapassar 8,36% ao ano.

Na primeira proposta, o cliente recebe C2 = C1 × 1,05 (aplicação de 5% sobre C1). Agora, sobre esse C2, será aplicada uma segunda taxa *i*. O montante final será: **C2 × (1 + i) = C1 × 1,05 × (1 + i)**. Para que isso represente uma taxa anual equivalente máxima de 8,36%, precisamos que: **1,05 × (1 + i) ≤ 1,0836** (onde 1,0836 = 1 + 0,0836).

Isolando *i*:
$$1 + i = \frac{1,0836}{1,05} = 1,0320$$

Portanto: **i = 0,0320 = 3,20%** (alternativa C)

**Por que as outras estão erradas:** A alternativa D (7,96%) tentaria fazer 8,36% − 5% = 3,36% (erro de soma linear, não composição). A alternativa E (16,72%) duplica 8,36% (absurdo). As alternativas A e B são distradores com cálculos parciais que confundem a lógica da composição de taxas. A regra fundamental aqui é que quando você encadeia taxas, elas se multiplicam, não se somam: por isso você divide 1,0836 por 1,05 e não subtrai 5% de 8,36%.

Matemática — Cesgranrio 2021

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