Cesgranrio 2021 · Matemática

Question

Uma loja vende um produto em dois tipos de embalagem:
unitária (com uma unidade do produto) e dupla (com duas
unidades do produto). Em certo mês, foram vendidas 16
embalagens duplas e 20 unitárias, gerando uma receita
para a loja de R$ 488,00. No mês seguinte, foram vendidas 30 embalagens duplas e 25 unitárias, gerando uma
receita de R$ 790,00.
Qual foi a porcentagem do desconto dado em cada unidade do produto ao se comprar a embalagem dupla?

A) 5%
B) 8%
C) 10%
D) 12%
E) 15%

RASCUNHO

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão – Cesgranrio 2021 (BB Escriturário)

## Estrutura do Problema

Trata-se de um sistema de equações com duas incógnitas. Precisamos descobrir: o preço unitário normal (p) e o preço por unidade na embalagem dupla (d). A chave é perceber que a embalagem dupla não custa necessariamente 2p — há um desconto. Se chamarmos de x% o desconto, então **cada unidade na dupla custa p(1 − x/100)**, e a embalagem dupla toda custa **2p(1 − x/100)**.

## Montando as Equações

**Mês 1:** 16 duplas + 20 unitárias = R$ 488
$$16 \cdot 2p(1 - x/100) + 20p = 488$$
$$32p(1 - x/100) + 20p = 488$$

**Mês 2:** 30 duplas + 25 unitárias = R$ 790
$$30 \cdot 2p(1 - x/100) + 25p = 790$$
$$60p(1 - x/100) + 25p = 790$$

Simplificando, seja **d = p(1 − x/100)** o preço por unidade na dupla:
- **32d + 20p = 488** → (I)
- **60d + 25p = 790** → (II)

## Resolvendo o Sistema

Multiplicar (I) por 5 e (II) por 4 para eliminar p:
- 160d + 100p = 2.440
- 240d + 100p = 3.160

Subtraindo: **80d = 720** → **d = 9**

Substituindo em (I): 32(9) + 20p = 488 → 288 + 20p = 488 → **p = 10**

## Calculando o Desconto

Se p = 10 e d = 9, então:
$$d = p(1 - x/100)$$
$$9 = 10(1 - x/100)$$
$$0,9 = 1 - x/100$$
$$x/100 = 0,1$$
$$x = 10\%$$

**Gabarito: C (10%)**

O desconto em cada unidade do produto comprado na embalagem dupla é de 10%, fazendo com que cada unidade saia por R$ 9 em vez de R$ 10 (preço normal).

Matemática — Cesgranrio 2021

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