Cesgranrio 2021 · Matemática

Question

J modelou um problema de matemática por uma função
exponencial do tipo a(x)=1000 ekx, e L, trabalhando no
mesmo problema, chegou à modelagem b(x)=102x+3.

Considerando-se que ambos modelaram o problema corretamente, e que ln x = logex, qual o valor de k?

A) ln 2
B) ln 3
C) ln 10
D) ln 30
E) ln 100

Accepted Answer

Gabarito oficial: E. # Análise da Questão — Função Exponencial e Equivalência de Bases

Se ambas as modelagens estão corretas para o mesmo problema, as funções **devem ser idênticas**. Isso significa: a(x) = b(x) para todo x. Portanto, **1000e^(kx) = 10^(2x+3)**.

Para encontrar k, você precisa transformar ambos os lados para a mesma base. Vamos trabalhar com a base e (logaritmo natural). O lado direito é **10^(2x+3) = 10³ · 10^(2x) = 1000 · 10^(2x)**. Agora, reescreva 10^(2x) em base e: **10^(2x) = e^(2x·ln10)**, pois qualquer número a^b = e^(b·ln a). Portanto: **b(x) = 1000 · e^(2x·ln10)**.

Igualando as expressões: **1000e^(kx) = 1000e^(2x·ln10)**. Dividindo 1000 dos dois lados: **e^(kx) = e^(2x·ln10)**. Como as bases são iguais, os expoentes devem ser iguais: **kx = 2x·ln10**. Portanto: **k = 2ln10**.

Agora, simplifique: **k = 2ln10 = ln(10²) = ln100** (pela propriedade logarítmica n·log a = log a^n). A alternativa **E está correta**.

As outras alternativas resultariam em funções diferentes. Por exemplo, se k = ln2, teríamos e^(ln2·x) = 2^x, o que não equivale a 10^(2x+3). Esse é um problema clássico de reconhecer que funções exponenciais com bases diferentes só são iguais quando seus expoentes são proporcionais segundo o logaritmo da razão das bases.

Matemática — Cesgranrio 2021

Mais questões de Matemática

Fonte