Cesgranrio 2018 · Matemática

Question

TRANSPETRO 2018 - O quarto, o quinto e o sexto termos de uma progressão aritmética são expressos por x + 1, x2 + 4 e 2x2 + 3, respectivamente. A soma dos dez primeiros termos dessa progressão aritmética é igual a

A) 260
B) 265
C) 270
D) 275
E) 280

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário da Questão

A chave aqui é usar a **propriedade fundamental de PA**: em uma progressão aritmética, a diferença entre termos consecutivos é constante. Isso significa que a2 - a1 = a3 - a2, ou equivalentemente, a2 = (a1 + a3)/2 (o termo do meio é a média aritmética dos extremos).

Aplicando isso aos três termos dados: o quinto termo deve ser a média do quarto e sexto. Logo: **x² + 4 = [(x + 1) + (2x² + 3)]/2**. Resolvendo: 2x² + 8 = x + 2x² + 4 → 8 = x + 4 → **x = 4**. Isso nos dá os termos: a₄ = 5, a₅ = 20 e a₆ = 35.

Com esses valores, encontramos a razão: r = 20 - 5 = 15 (ou 35 - 20 = 15, confirmando). De posse de a₄ = 5 e r = 15, recuamos para encontrar a₁: a₁ = a₄ - 3r = 5 - 45 = -40.

Usando a fórmula da soma dos n primeiros termos: **Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2**. Precisamos de a₁₀ = a₁ + 9r = -40 + 135 = 95. Portanto: S₁₀ = 10(-40 + 95)/2 = 10(55)/2 = **275**.

Matemática — Cesgranrio 2018

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