Cesgranrio 2018 · Matemática

Question

TRANSPETRO 2018 - Num conjunto há 5 elementos positivos e 5 elementos negativos. Escolhem-se 5 números desse conjunto e se efetua a multiplicação desses 5 números escolhidos. Em quantos casos tal multiplicação terá resultado negativo?

A) 25
B) 120
C) 125
D) 126
E) 128

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Comentário da Questão

O resultado de uma multiplicação é **negativo se e somente se há um número ímpar de fatores negativos**. Essa é a regra fundamental aqui: negativo × negativo = positivo (par de negativos), mas negativo × positivo = negativo (ímpar de negativos).

Temos 10 elementos no total (5 positivos + 5 negativos) e escolhemos 5. Para o produto ser negativo, precisamos escolher **1, 3 ou 5 elementos negativos** (as únicas quantidades ímpares possíveis). O restante virá de positivos, que não alteram o sinal.

**Cálculo das possibilidades:**
- **1 negativo e 4 positivos:** C(5,1) × C(5,4) = 5 × 5 = 25
- **3 negativos e 2 positivos:** C(5,3) × C(5,2) = 10 × 10 = 100
- **5 negativos e 0 positivos:** C(5,5) × C(5,0) = 1 × 1 = 1

**Total:** 25 + 100 + 1 = **126** ✓

As alternativas menores (A e B) consideram apenas alguns casos. A alternativa C (125) é uma pegadinha comum: é exatamente 5⁵, número que aparece quando se pensa ingenuamente em "5 elementos escolhidos do grupo de 5 negativos", ignorando a necessidade de completar com positivos. A alternativa E (128 = 2⁷) não tem lógica combinatória que a justifique.

Matemática — Cesgranrio 2018

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