Cesgranrio 2018 · Matemática

Question

O centro da circunferência : x2 + y2  2x  4y = 4 é o foco de uma parábola cuja diretriz é o eixo Ox do plano cartesiano. A equação dessa parábola é

A) x2 – 2x – 4y + 5 = 0
B) x2 – 4x – y + 5 = 0
C) x2 – 4x – 2y + 5 = 0
D) x2 – 2x – 2y + 5 = 0
E) x2 + 2x + 4y + 5 = 0

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. # Comentário da Questão

Essa questão exige dois passos bem definidos: primeiro, encontrar o centro da circunferência; depois, usar esse ponto como foco da parábola. Comecemos completando quadrados na equação x² + y² − 2x − 4y = 4. Reagrupando: (x² − 2x) + (y² − 4y) = 4. Completamos: (x² − 2x + 1) − 1 + (y² − 4y + 4) − 4 = 4, resultando em (x − 1)² + (y − 2)² = 9. Logo, o centro é C = (1, 2), que será o foco da parábola.

A diretriz é o eixo Ox (reta y = 0). Pela definição de parábola, todo ponto P(x, y) pertencente a ela deve estar equidistante do foco F(1, 2) e da diretriz. A distância de P ao foco é √[(x − 1)² + (y − 2)²]; a distância de P à diretriz y = 0 é simplesmente |y|. Igualando: √[(x − 1)² + (y − 2)²] = |y|.

Elevando ambos os lados ao quadrado: (x − 1)² + (y − 2)² = y². Expandindo: x² − 2x + 1 + y² − 4y + 4 = y². Simplificando (y² cancela): x² − 2x + 1 − 4y + 4 = 0, ou seja, **x² − 2x − 4y + 5 = 0**. Essa é a alternativa A, que bate com o gabarito.

As demais alternativas erram por distração algébrica comum: coeficientes errados no x (opção B com −4x), y com coeficiente −2 em vez de −4 (opções C e D), ou sinais invertidos (opção E). A chave é montar corretamente a equação de distância e não errar na expansão dos binômios.

Matemática — Cesgranrio 2018

Mais questões de Matemática

Fonte