Cesgranrio 2015 · Matemática

Question

Uma sequência de números reais tem seu termo geral, a , dado por a = 4.23n+1, para n ≥ 1. n n Essa sequência é uma progressão

A) geométrica, cuja razão é igual a 2.
B) geométrica, cuja razão é igual a 32.
C) aritmética, cuja razão é igual a 3.
D) aritmética, cuja razão é igual a 1.
E) geométrica, cuja razão é igual a 8.

Accepted Answer

Gabarito oficial: E. # Comentário da Questão

A chave está em simplificar o termo geral e identificar qual tipo de progressão temos. Dado **aₙ = 4·2^(3n+1)**, podemos reescrever: aₙ = 4·2·2^(3n) = 8·2^(3n) = 8·(2³)ⁿ = 8·8ⁿ. Assim, cada termo é igual ao anterior multiplicado por 8, caracterizando uma **progressão geométrica** de razão q = 8.

Para confirmar: a₁ = 8·8¹ = 64; a₂ = 8·8² = 512; a₃ = 8·8³ = 4.096. De fato, 512 ÷ 64 = 8 e 4.096 ÷ 512 = 8. A razão constante entre termos consecutivos é a definição de PG, onde aₙ₊₁ = aₙ·q.

**Por que erram:** (A) e (B) acertam que é geométrica mas erram na razão — quem divide apressado 2^(3n+1) por 2^(3n) encontraria razão 2, e quem erra a simplificação pode chegar a 32. (C) e (D) confundem com progressão aritmética, que exige diferença constante (aₙ₊₁ - aₙ = r), não multiplicação — aqui os termos crescem exponencialmente, nunca linearmente.

Matemática — Cesgranrio 2015

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