Cesgranrio 2013 · Matemática

Question

As capitalizações oferecidas por dois fundos de investimento foram simuladas por uma operadora financeira. A aplicação inicial em ambos os fundos foi a mesma. Na simulação, a capitalização no primeiro fundo de investimento durou 48 meses e se deu a juros mensais de 1%, no regime composto. No segundo fundo de investimento, a capitalização durou 24 meses apenas. A operadora buscava determinar qual deveria ser a taxa mensal de juros oferecida pelo segundo fundo, em regime composto, para, ao final dos 24 meses, gerar o mesmo montante gerado pelo primeiro ao final dos 48 meses. Essa taxa é de

A) ,02% a.m.
B) % a.m.
C) ,01% a.m.
D) ,2% a.m.
E) ,1% a.m.

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. # Comentário da Questão

Trata-se de um problema clássico de **equivalência de taxas em juros compostos**. O ponto-chave é igualar os montantes finais de dois investimentos com períodos e taxas diferentes, mas mesmo capital inicial.

Para o primeiro fundo: M₁ = C(1,01)⁴⁸. Para o segundo: M₂ = C(1 + i)²⁴. Igualando M₁ = M₂, temos C(1,01)⁴⁸ = C(1 + i)²⁴, logo (1,01)⁴⁸ = (1 + i)²⁴. Elevando ambos os lados à potência 1/24, obtém-se 1 + i = (1,01)⁴⁸/²⁴ = (1,01)². Portanto i = (1,01)² − 1 = 1,0201 − 1 = 0,0201 = **2,01% a.m.**

A alternativa **C (2,01% a.m.)** está correta porque expressa exatamente essa taxa equivalente. A lógica: quanto maior o prazo, menor a taxa necessária para gerar o mesmo resultado final; como o segundo fundo tem metade do tempo, precisa de uma taxa superior e capaz de render "ao quadrado" em relação à original — por isso 2,01% é aproximadamente (1,01)² em termos de crescimento.

As demais alternativas erram por não aplicar corretamente a fórmula de equivalência. Taxas como 0,02%, 1% ou 0,1% subestimam drasticamente o crescimento necessário em 24 meses para igualar 48 meses de capitalização a 1%, e 0,2% também fica abaixo do resultado matemático exato.

Matemática — Cesgranrio 2013

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