Cesgranrio 2012 · Matemática

Question

O polinômio do denominador da função de transferência em malha fechada de um sistema linear é s3 + 10s2 + 8s + K − 64 Considerando-se que o numerador da função de transferência é um valor constante, qual a faixa de variação do ganho K que garante a estabilidade do sistema?

A) < K < 64
B) < K < 112
C) < K < 128
D) < K < 144
E) < K < 188

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. # Análise da Questão — Estabilidade de Sistemas de Controle A questão cobra a aplicação do **Critério de Routh-Hurwitz**, ferramenta fundamental para determinar estabilidade sem calcular raízes. Para um sistema ser estável, todos os polos devem estar no semiplano esquerdo do plano s, o que equivale a: (1) todos os coeficientes do polinômio característico serem positivos e (2) nenhuma mudança de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. Aqui, o polinômio é P(s) = s³ + 10s² + 8s + (K − 64). Montando a **tabela de Routh** com os coeficientes [1, 10, 8, K−64]: | s³ | 1 | 8 | | s² | 10 | K−64 | | s¹ | (10·8 − 1·(K−64))/10 = (80 − K + 64)/10 = **(144 − K)/10** | — | | s⁰ | K−64 | — | Para estabilidade, precisamos que **não haja mudanças de sinal** na primeira coluna. Isso exige: **(1)** K − 64 > 0 ⟹ **K > 64**; **(2)** (144 − K)/10 > 0 ⟹ **K < 144**. Portanto, a faixa é **64 < K < 144**, correspondente à alternativa **D**. As demais alternativas erram porque usam limites incorretos no cálculo do elemento s¹ da tabela de Routh. Uma análise rápida mostra que limites menores (112, 128) não exploram toda a margem de estabilidade, enquanto 188 ultrapassaria o limite superior, levando o sistema à instabilidade por alocação inadequada de polos.

Matemática — Cesgranrio 2012

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