Cebraspe 2022 · Matemática

Question

Julgue os itens que se seguem, relacionados a geometria plana e espacial.
107 Uma pirâmide de altura h = 2√3 cm com base dada por um hexágono regular de lado ℓ = 3 cm tem volume V = √3 cm³.

C) Certo
E) Errado

Accepted Answer

Gabarito oficial: Errado. O item está **errado** porque o volume de uma pirâmide é dado por $V=\frac{A_b\cdot h}{3}$, em que $A_b$ é a área da base e $h$ é a altura. Como a base é um **hexágono regular** de lado $3$ cm, sua área pode ser calculada como a soma de 6 triângulos equiláteros de lado $3$:  
$$
A_b=6\cdot\frac{\ell^2\sqrt3}{4}
=6\cdot\frac{9\sqrt3}{4}
=\frac{27\sqrt3}{2}.
$$

Agora, aplicando a fórmula do volume com $h=2\sqrt3$:  
$$
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{27\sqrt3}{2}\cdot 2\sqrt3.
$$
Observe que $2$ cancela com o denominador $2$, e $\sqrt3\cdot\sqrt3=3$. Assim:  
$$
V=\frac{1}{3}\cdot 27\cdot 3=27\text{ cm}^3.
$$

Portanto, o volume correto da pirâmide é **$27\text{ cm}^3$**, e não $\sqrt3\text{ cm}^3$. A banca tentou induzir o candidato a erro misturando radicais da altura e da área da base, mas, ao multiplicar os dois fatores com $\sqrt3$, o radical desaparece.

Um caminho seguro em questões desse tipo é separar em duas etapas: primeiro calcular a **área da base**, depois aplicar a fórmula do volume. Para hexágono regular, vale memorizar:  
$$
A_{\text{hex}}=\frac{3\ell^2\sqrt3}{2}.
$$
Com $\ell=3$, isso já dá $\frac{27\sqrt3}{2}$, confirmando que o volume jamais poderia ser apenas $\sqrt3\text{ cm}^3$.

Matemática — Cebraspe 2022

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