IADES 2019 · Raciocínio Lógico

Question

João compareceu ao supermercado para comprar óleo (garrafa
de 1 litro), arroz (saco de 5 kg), feijão (saco de 1 kg), farinha
de trigo (pacote de 1 kg) e leite (caixa de 1 litro). Sabendo que
ele comprou um total de 20 volumes, incluindo, no mínimo,
3 caixas de leite e pelo menos 2 unidades (ou 2 volumes) de
cada um dos demais produtos, é correto afirmar que a
quantidade de maneiras diferentes de que ele poderia ter
realizado a compra é igual a

A) 1.430.
B) 715.
C) 143.
D) 378.
E) 100.

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. # Comentário da Questão — Análise Combinatória

A questão envolve **distribuição com restrições**, um clássico de combinatória. João compra 5 produtos diferentes totalizando 20 volumes, com restrições mínimas para cada um. O passo crucial é converter as restrições em uma distribuição livre, usando a técnica de **mudança de variáveis**.

**Montagem do problema:** Sejam *o, a, f, fe, l* as quantidades de óleo, arroz, feijão, farinha e leite, respectivamente. As restrições são: *o + a + f + fe + l = 20*; *o ≥ 2, a ≥ 2, f ≥ 2, fe ≥ 2, l ≥ 3*. Aplicamos a substituição: *o' = o − 2, a' = a − 2, f' = f − 2, fe' = fe − 2, l' = l − 3*. Assim todas as novas variáveis são ≥ 0 e: *o' + a' + f' + fe' + l' = 20 − 2 − 2 − 2 − 2 − 3 = 9*.

**Aplicação da fórmula:** O número de soluções não-negativas da equação *x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ = 9* é dado por **combinações com repetição**: **C(n + k − 1, k) = C(9 + 5 − 1, 5 − 1) = C(13, 4) = (13 × 12 × 11 × 10) / (4 × 3 × 2 × 1) = 17160 / 120 = 715**. Esta é a resposta correta, alternativa **B**.

**Por que outras estão erradas:** Alternativas como 1.430 (resultado de C(13,5) — erro de índice) ou 378 (possível aplicação errada de permutações) surgem de erros na conversão das restrições ou uso inadequado de fórmulas. A chave é reconhecer que **toda restrição de mínimo deve ser subtraída do total antes de aplicar a combinação com repetição**.

Raciocínio Lógico — IADES 2019

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