Cebraspe 2025 · Estatística

Question

Em estudo conduzido acerca da consonância dos preços
praticados pelas seguradoras com a estrutura atuarial de risco, um
analista concluiu que a distribuição de probabilidade dos prêmios
(em R$) cobrados para veículos de perfil de baixo risco pode ser
representada por uma variável aleatória contínua , cuja função
de densidade de probabilidade é representada por
 =  (2.500)

,
em que  ≥$ 2.500, e   é o parâmetro de forma conhecido
como índice de Pareto.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
O estimador de máxima verossimilhança para o índice de
Pareto   é dado em função da média dos valores dos prêmios
observados em uma amostra aleatória simples.

C) Certo
E) Errado

Accepted Answer

Gabarito oficial: Errado. O item está **errado** porque, na distribuição de Pareto com escala mínima conhecida $x_m = 2.500$ e parâmetro de forma $\alpha$, o estimador de máxima verossimilhança de $\alpha$ **não depende da média aritmética simples dos valores observados**, mas sim da **média dos logaritmos das razões** entre os valores observados e o limite inferior da distribuição.

Para uma amostra aleatória $X_1,\dots,X_n$, com densidade típica da Pareto dada por  
$$
f(x)=\frac{\alpha x_m^\alpha}{x^{\alpha+1}}, \quad x\ge x_m,
$$
a função de verossimilhança leva à log-verossimilhança:
$$
\ell(\alpha)=n\ln(\alpha)+n\alpha\ln(x_m)-(\alpha+1)\sum_{i=1}^n \ln(x_i).
$$
Derivando em relação a $\alpha$ e igualando a zero, obtém-se:
$$
\widehat{\alpha}=\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(x_i/x_m)}.
$$

Perceba o ponto central: o estimador depende de $\sum \ln(X_i/2500)$, e não de $\bar X$. A **média amostral** até pode ser usada em outro método de estimação, como o **método dos momentos**, pois a média teórica da Pareto, quando $\alpha>1$, é:
$$
E[X]=\frac{\alpha x_m}{\alpha-1}.
$$
Mas isso não é o estimador de máxima verossimilhança pedido no item.

Essa é uma pegadinha comum da Cebraspe: confundir estimação por **máxima verossimilhança** com estimação por **momentos**. Para a Pareto com parâmetro de escala conhecido, o EMV do índice de Pareto é construído a partir de transformações logarítmicas dos dados, refletindo a estrutura multiplicativa da cauda da distribuição. Portanto, afirmar que ele é dado em função da média dos prêmios observados torna o item **errado**.

Estatística — Cebraspe 2025

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