Cebraspe 2025 · Estatística

Question

Em estudo conduzido acerca da consonância dos preços
praticados pelas seguradoras com a estrutura atuarial de risco, um
analista concluiu que a distribuição de probabilidade dos prêmios
(em R$) cobrados para veículos de perfil de baixo risco pode ser
representada por uma variável aleatória contínua , cuja função
de densidade de probabilidade é representada por
 =  (2.500)

,
em que  ≥$ 2.500, e   é o parâmetro de forma conhecido
como índice de Pareto.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
Caso um analista selecione uma amostra aleatória simples de
apólices desse tipo de seguro cuja distribuição de
probabilidade seja descrita pela variável aleatória , então,
se a média amostral dos prêmios for igual a R$ 3.125,  ! = 5
representa
uma
estimativa
de
momentos
para
o
índice de Pareto.

C) Certo
E) Errado

Accepted Answer

Gabarito oficial: Certo. O item está **certo**. A distribuição apresentada é uma **Pareto do tipo I**, com parâmetro de escala $x_m = 2.500$ e parâmetro de forma $\alpha$. Para essa distribuição, quando $\alpha > 1$, a esperança é dada por:

$$
E(X)=\frac{\alpha x_m}{\alpha-1}
$$

Na **estimação pelo método dos momentos**, igualamos o momento populacional ao momento amostral correspondente. Como foi informada a média amostral $\bar X = 3.125$, fazemos:

$$
3.125=\frac{\alpha \cdot 2.500}{\alpha-1}
$$

Resolvendo:

$$
3.125(\alpha-1)=2.500\alpha
$$

$$
3.125\alpha-3.125=2.500\alpha
$$

$$
625\alpha=3.125
$$

$$
\alpha=5
$$

Portanto, $\hat{\alpha}=5$ é, de fato, a **estimativa de momentos** para o índice de Pareto. O ponto central da questão é perceber que a Cebraspe não está pedindo estimador de máxima verossimilhança, mediana ou outro critério: ela menciona expressamente a média amostral, o que remete diretamente ao **método dos momentos**, baseado na igualdade entre média teórica e média observada.

Um cuidado importante: a fórmula da média da Pareto só existe para $\alpha>1$. Como a estimativa encontrada foi $\alpha=5$, essa condição está satisfeita. Se o candidato tentasse usar outra propriedade da distribuição, ou esquecesse o parâmetro de escala $2.500$, poderia chegar a valor diferente; mas, pelo procedimento correto, o gabarito é mesmo **Certo**.

Estatística — Cebraspe 2025

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