Cebraspe 2025 · Matemática Atuarial

Question

Certa seguradora tem uma reserva inicial de $ 1.000 para
pagamento de indenizações por sinistros. Após t meses, a reserva de
risco da seguradora, segundo o modelo de ruína de Cramér-Lundberg,
é dada por  = 1.000 +  ∙ −, em que c é o prêmio
recolhido mensalmente pela seguradora (considerado constante no
modelo), e  é o total de indenizações pagas pela seguradora no
intervalo 0, , sendo lim	→/ =  > 0.
Considerando a situação precedente, julgue os itens a seguir.
Para que não ocorra ruína, é necessário que, quando  →∞,
o prêmio recolhido mensalmente seja pelo menos igual à
média das indenizações pagas por mês, ou seja,  ≥.

C) Certo
E) Errado

Accepted Answer

Gabarito oficial: Certo. A afirmação está **certa**. No modelo de risco de Cramér-Lundberg, a reserva da seguradora no tempo $t$ é dada por:

$$
U(t)=1000+ct-S(t)
$$

em que $1000$ é a reserva inicial, $ct$ representa o total de prêmios arrecadados até o tempo $t$, e $S(t)$ é o total de indenizações pagas no intervalo. A ideia central é simples: para a seguradora não caminhar inevitavelmente para a ruína no longo prazo, a entrada média de recursos precisa ser pelo menos igual à saída média com sinistros.

Como o enunciado informa que:

$$
\lim_{t\to\infty}\frac{S(t)}{t}=\mu>0,
$$

isso significa que, no longo prazo, as indenizações pagas por mês convergem para uma média $\mu$. Dividindo a reserva por $t$, temos:

$$
\frac{U(t)}{t}=\frac{1000}{t}+c-\frac{S(t)}{t}.
$$

Quando $t\to\infty$, o termo $\frac{1000}{t}$ tende a zero e $\frac{S(t)}{t}$ tende a $\mu$. Logo, o comportamento médio da reserva passa a depender de:

$$
c-\mu.
$$

Se $c<\mu$, a seguradora arrecada, em média, menos do que paga em indenizações. Nesse caso, a tendência de longo prazo da reserva é negativa, e a ruína se torna inevitável em termos assintóticos. Por isso, é **necessário** que $c\geq\mu$, isto é, que o prêmio mensal arrecadado seja pelo menos igual à média mensal das indenizações.

Atenção ao termo **“necessário”**: a condição $c\geq\mu$ não garante, sozinha, que a ruína jamais ocorrerá em qualquer trajetória possível, especialmente porque sinistros podem ter flutuações aleatórias relevantes. Mas, para que não haja tendência estrutural de esgotamento da reserva no longo prazo, essa desigualdade é indispensável. Portanto, o item está correto.

Matemática Atuarial — Cebraspe 2025

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