FGV 2023 · Raciocínio Lógico-Matemático

Question

O quadro abaixo mostra a sequência dos números naturais a
partir de 𝑛= 1 e, em seguida, duas sequências aritméticas: A e B.
𝑛 1 2 3 4 ...etc.
A 51 54 57 60 ...etc.
B 2 7 12 17 ...etc.
O valor de 𝑛, para o qual, pela primeira vez, um elemento da
sequência B é maior que o elemento correspondente da
sequência A é:

A) 24;
B) 25;
C) 26;
D) 27;
E) 28.

Accepted Answer

Gabarito oficial: C. A alternativa correta é **C) 26**. As duas linhas são progressões aritméticas, então usamos o termo geral da PA:  
$$
a_n=a_1+(n-1)r
$$
Na sequência **A**, o primeiro termo é 51 e a razão é 3, logo:
$$
A_n=51+3(n-1)
$$
Na sequência **B**, o primeiro termo é 2 e a razão é 5, logo:
$$
B_n=2+5(n-1)
$$

A questão pede o primeiro valor de $n$ em que o termo de **B** supera o termo correspondente de **A**. Portanto:
$$
2+5(n-1)>51+3(n-1)
$$
Desenvolvendo:
$$
2+5n-5>51+3n-3
$$
$$
5n-3>3n+48
$$
$$
2n>51
$$
$$
n>25{,}5
$$
Como $n$ é natural, o primeiro valor possível é **26**.

As alternativas **A) 24** e **B) 25** ainda não servem, porque a sequência B ainda não ultrapassou a A. Em $n=25$, por exemplo:
$$
A_{25}=51+24\cdot3=123
$$
$$
B_{25}=2+24\cdot5=122
$$
Ou seja, B ainda é menor. Já em $n=26$:
$$
A_{26}=126,\quad B_{26}=127
$$
Aqui ocorre a primeira ultrapassagem.

As alternativas **D) 27** e **E) 28** até apresentam valores em que B já é maior que A, mas não representam a **primeira vez** em que isso acontece. Esse detalhe é muito cobrado pela FGV: não basta encontrar um $n$ que satisfaça a desigualdade; é preciso encontrar o menor $n$ natural que a torna verdadeira.

Raciocínio Lógico-Matemático — FGV 2023

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