FGV 2023 · Raciocínio Lógico-Matemático

Question

Em uma urna há cinco bolas com o número 1, sete bolas com o
número 2 e quatro bolas com o número 3.
O número mínimo de bolas que se deve retirar dessa urna, sem
lhes ver os números, para ter certeza de haver retirado pelo
menos duas bolas com o número 2 e pelo menos três bolas com o
número 3 é:

A) 16;
B) 15;
C) 14;
D) 12;
E) 11.

Accepted Answer

Gabarito oficial: B. A alternativa correta é a **B) 15**. Em questões de “ter certeza”, a lógica é sempre pensar no **pior caso possível**, isto é, na retirada mais desfavorável antes de a condição desejada ser inevitável. Aqui, o objetivo é garantir simultaneamente: **pelo menos 2 bolas com número 2** e **pelo menos 3 bolas com número 3**.

O pior cenário para atrasar essa garantia é retirar o máximo de bolas possível **sem ainda cumprir uma das exigências**. Como há 5 bolas com número 1, 7 bolas com número 2 e 4 bolas com número 3, podemos imaginar que a pessoa retire todas as bolas 1, todas as bolas 2 e apenas 2 bolas com número 3. Isso dá: **5 + 7 + 2 = 14 bolas**. Nesse ponto, ainda não há certeza de ter retirado pelo menos 3 bolas com número 3, pois só poderiam ter saído 2 delas.

Assim, com **14 retiradas**, ainda é possível não satisfazer a condição exigida. A próxima bola, porém, necessariamente será uma bola de número 3, pois já teriam sido retiradas todas as bolas 1 e 2 e restariam apenas bolas 3. Logo, ao retirar a **15ª bola**, passa-se a ter certeza de haver pelo menos **2 bolas com número 2** e pelo menos **3 bolas com número 3**.

As alternativas menores, como **11, 12 e 14**, erram por não considerarem corretamente o pior caso. Em problemas de princípio das gavetas, não basta pensar em uma situação provável ou equilibrada; é preciso testar o cenário mais adverso. A alternativa **16** também está incorreta porque exagera: com 15 retiradas a condição já está garantida, não sendo necessário retirar todas as bolas da urna.

Raciocínio Lógico-Matemático — FGV 2023

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