FGV 2023 · Raciocínio Lógico

Question

Dois números inteiros maiores do que zero são tais que sua soma
é igual a 35. Além disso, um deles é 𝑘 unidades (𝑘 inteiro maior
do que zero) maior do que o triplo do outro.
O número de valores possíveis para 𝑘 é:

A) 5;
B) 6;
C) 7;
D) 8;
E) 9.

Accepted Answer

Gabarito oficial: D. Chame os dois inteiros positivos de $x$ e $y$, com $x+y=35$. A condição “um deles é $k$ unidades maior do que o triplo do outro” significa, sem perda de generalidade, que podemos escrever $x=3y+k$, com $k\in\mathbb{Z}_{>0}$. Substituindo na soma:  
$$
3y+k+y=35 \Rightarrow 4y+k=35 \Rightarrow k=35-4y.
$$

Agora vem o ponto central: como $y$ é inteiro positivo, temos $y\geq 1$; e como $k$ também deve ser inteiro positivo, precisamos de $35-4y>0$, isto é, $4y<35$, logo $y\leq 8$. Portanto, $y$ pode assumir os valores:
$$
1,2,3,4,5,6,7,8.
$$

Para esses valores, os respectivos $k$ são:
$$
31,27,23,19,15,11,7,3.
$$
São, portanto, **8 valores possíveis** para $k$. A alternativa correta é a **D**.

O cuidado da questão está em perceber que não se pede o número de pares $(x,y)$, mas sim o número de valores possíveis de $k$. Se considerássemos a ordem dos números, cada situação poderia aparecer duplicada — por exemplo, $(34,1)$ e $(1,34)$ levam ao mesmo $k=31$. As alternativas menores, como 5, 6 ou 7, resultam de restringir indevidamente os valores de $y$; já a alternativa 9 provavelmente vem do erro de admitir $y=9$, o que daria $k=35-36=-1$, inválido porque $k$ deve ser positivo.

Raciocínio Lógico — FGV 2023

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