FGV 2022 · Raciocínio Lógico Matemático

Question

Alguns dos números que podem ser escritos na forma de fração
apresentam periodicidade quando representados na forma
decimal. Isto é, a partir de uma certa casa decimal, um dígito (ou
uma sequência de dígitos) passa a se repetir infinitamente. Como
exemplo, temos:
1
13 = 0,076923076923076923076 …
Nessa representação decimal, o 1232º dígito após a vírgula é

A) 7.
B) 6.
C) 3.
D) 2.
E) 0.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. A fração $ \frac{1}{13} $ gera a dízima periódica $0,\overline{076923}$, isto é, o bloco que se repete infinitamente tem **6 algarismos**: $076923$. Em questões desse tipo, o ponto central é perceber que não precisamos escrever a expansão decimal até a 1232ª casa; basta descobrir **em que posição do período** esse algarismo cai.

Como o período tem tamanho 6, dividimos $1232$ por $6$. O resto da divisão indica a posição dentro do ciclo. Temos:

$$
1232 = 6 \cdot 205 + 2
$$

Ou seja, depois de 205 blocos completos de $076923$, a 1232ª casa decimal corresponde ao **2º algarismo** do bloco periódico.

O bloco é:

$$
0\ 7\ 6\ 9\ 2\ 3
$$

Assim, o 2º algarismo do período é **7**. Por isso, a alternativa correta é a **A**.

As demais alternativas trazem algarismos que também aparecem no período, como $6$, $3$, $2$ e $0$, mas estão em outras posições do ciclo. O erro comum aqui é contar diretamente no bloco sem ajustar pelo resto da divisão, ou usar $1232 \div 6$ e interpretar o quociente em vez do resto. Em sequências periódicas, quem determina a posição é sempre o **resto da divisão pelo tamanho do período**.

Raciocínio Lógico Matemático — FGV 2022

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