FGV 2022 · Raciocínio Lógico Matemático

Question

Uma caixa continha apenas bolas pretas e brancas. 80% das bolas
eram pretas. Foram então retiradas da caixa 5 bolas de cada cor, o
que fez com que a porcentagem de bolas pretas remanescentes
em seu interior subisse para 87,5%.
Com base nessas informações, pode-se afirmar que, antes da
retirada, o número de bolas brancas na caixa estava entre

A) 4 e 14.
B) 14 e 24.
C) 24 e 34.
D) 34 e 44.
E) 44 e 54.

Accepted Answer

Gabarito oficial: A. O ponto central é perceber que retirar **5 bolas pretas e 5 bolas brancas** não mantém necessariamente a mesma porcentagem, porque a retirada foi em quantidades iguais, mas a composição inicial era desigual. Como havia **80% de pretas**, havia também **20% de brancas**. Se chamarmos o total inicial de bolas de $x$, então as pretas eram $0{,}8x$ e as brancas eram $0{,}2x$.

Depois da retirada, restaram $0{,}8x - 5$ bolas pretas e o total passou a ser $x - 10$, pois foram retiradas 10 bolas ao todo. A nova porcentagem de pretas passou a ser **87,5%**, que equivale a $\frac{7}{8}$. Assim:

$$
\frac{0{,}8x - 5}{x - 10} = 0{,}875
$$

Substituindo por frações, fica mais limpo:

$$
\frac{\frac{4}{5}x - 5}{x - 10} = \frac{7}{8}
$$

Resolvendo:

$$
8\left(\frac{4}{5}x - 5\right) = 7(x - 10)
$$

$$
\frac{32}{5}x - 40 = 7x - 70
$$

Multiplicando tudo por 5:

$$
32x - 200 = 35x - 350
$$

$$
150 = 3x
$$

$$
x = 50
$$

Portanto, inicialmente havia **50 bolas** na caixa. Como **20% eram brancas**, o número inicial de bolas brancas era:

$$
20\% \text{ de } 50 = 10
$$

Logo, o número de bolas brancas estava entre **4 e 14**, razão pela qual a alternativa correta é a **A**. As demais alternativas erram porque pressupõem uma quantidade inicial de bolas brancas maior do que a compatível com a equação da porcentagem final. Note que, após a retirada, ficam 35 pretas e 5 brancas, totalizando 40 bolas; e $35/40 = 87{,}5\%$, confirmando o resultado.

Raciocínio Lógico Matemático — FGV 2022

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